Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Die Schritte des GAUSS-Verfahrens ausmachen, nämlich Zeilenvertauschung, eine Zeile mit einem Vielfachen multiplizieren,

und das mit einem von Null verschiedenen Vielfachen multiplizieren, und das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile zu addieren,

dass das sich mit sogenannten Elementarmatrizen ausdrücken lässt, indem wir eben solche Elementarmatrizen von links an die zu transformierende Matrix multiplizieren.

Das heißt jetzt nicht, dass man das so machen soll, wenn man rechnet, natürlich.

Also ich habe das tatsächlich mal erlebt, ich hatte eine Masterzulassungsprüfung von einer chinesischen Studentin,

und die hat mir dann das Gauss-Verfahren dadurch erklärt, indem sie wirklich diese Elementarmatrizen aufgestellt hat und angefangen hat, mit diesen zu multiplizieren.

Das ist natürlich maximal ineffizient, weil diese Matrizen, so wie wir gesehen haben, fast nur aus Nullen bestehen

und nur eben ganz wenige Elemente in der Matrix modifizieren, und das, was sie de facto eben machen, das ist ja etwas, was wir kennen.

Das sind eben genau die bekannten Umformungsschritte. Nur, wenn wir dann das Verfahren analysieren wollen, weiter analysieren wollen,

und das werden wir bald tun, dann ist das sehr hilfreich, diese Interpretation zu haben.

Okay, vielleicht schauen wir uns das mal punktuell an. Ich hatte behauptet, dass die vielleicht wichtigste Elementarumformung,

nämlich das C-Fache einer Zeile K zu einer anderen Zeile J zu addieren, genau durch diese Matrix E3 bewerkstelligt wird.

Und vielleicht, wie können wir das rechtfertigen?

Generell ist es ja, vielleicht sollten wir es noch mal anschauen, wie wir jetzt diese Matrix und in Analogie auch die zwei anderen Elementarmatrizen,

so nennen wir diese drei speziellen Matrix-Typen jetzt, wie wir die sozusagen kompakt schreiben können. Was machen wir?

Wir haben die Einheitsmatrix.

Was ist los mit dem Ding?

Crucifix.

Wir haben die Einheitsmatrix. Und das Einzige, was wir bei der Einheitsmatrix ändern, wir addieren in einer Position noch einen C dazu.

Das heißt also, wir addieren in der Position, welche ist, das ist J-Zeile, Karte-Spalte, da addieren wir den Wert C auf den Wert,

eine Matrix, die gerade an dieser Position den Wert 1 hat, ist es aber dieses Tensorprodukt zwischen EJ und EK,

also müssen wir nur dieses Tensorprodukt multipliziert mit C zur Einheitsmatrix addieren und haben eine sozusagen pünktchenfreie Darstellung dieser Matrix hier.

Analog, ohne dass wir das jetzt im Detail noch mal nachvollziehen müssen, analog ergibt sich das auch, kann man auch zum Beispiel diese Matrix,

die dann die Multiplikation mit einer Zeile mit dem Faktor C darstellen soll, kann man so interpretieren, dass man sagt, man hat die Einheitsmatrix,

man nimmt aber eine Einheitsmatrix an der Position J, J die 1 weg und schreibt dafür eine C hin.

Und analog kann man auch die, wo ist es jetzt, so steht das nicht hier, kann man auch die Vertauschung, steht jetzt hier nicht auf der Folie,

die Vertauschung zweier Zeilen mit solchen dyadischen Produkten von Einheitsmatrizen darstellen.

Also kehren wir jetzt wieder zu der zurück und schauen uns mal an, dass das wirklich die Matrix ist, die das bewerkstelligt, was wir haben wollen.

Dafür können wir allgemein, also wir fragen uns, ist die Elementarumformung Typ 3 gleich E3 mal A,

wobei das jetzt die entsprechende dritte Elementarmatrix ist.

Das ist also das, was wir verifizieren wollen und generell ist es ja so, wenn ich jetzt mal eine Matrix in Zeilen-Schreibweise schreibe,

das heißt also ich habe hier meine M-Zeilen, jetzt schreibe ich die als Spalten nebeneinander,

weil wir haben ja gesagt, wir müssen uns irgendwie auf irgendwas einlassen und haben gesagt, wenn wir diese Notation benutzen,

dann schreiben wir die Zeilen tatsächlich als Spalten.

Das heißt, das muss ich das Ganze, muss ich jetzt noch mal transponieren, um aus den Spalten wieder Zeilen zu machen.

Das ist also die Teilendarstellung der Matrix A.

Und jetzt schauen wir uns mal an, was passiert, wenn wir eine Matrix vom Typ Einheitsmatrix plus EK dyadisch EI auf so eine Matrix A loslassen.

Der erste Faktor ist, der erste Summand ist klar, das gibt wieder die Matrix A und der zweite ergibt eben EK.

Wenn ich das jetzt hier auflöse, da steht hier noch EI transponiert A und das greift eben gerade auf die Ith Spalte transponiert zu,

das heißt also ich habe hier wieder dyadisch mit der Ith Spalte.

Das heißt also, was passiert, wenn ich so eine Matrix, wenn ich jetzt diese Matrix loslasse auf A,

dann heißt das zur Matrix A, wird in der Kartenzeile die Ith-Zeile dazu addiert.

So, jetzt schauen wir uns mal an, was unser speziell unser E3 macht.

Also was im Fall 3, Röhmisch 3 passiert, E3 mal A ist also jetzt fast das Gleiche, ist A.

Und jetzt, das ist der Unterschied zu dem, was jetzt hier steht, ist nur noch mit etwas anderen Indizes, dass wir noch den Faktor C haben.

Hier EJ und dann hier entsprechend AI.

Das heißt also, diese neue Matrix entsteht aus der alten Matrix, indem in der J-Zeile C mal die Ith-Zeile dazu addiert wird.

Das ist genau das, was wir unter der dritten Elementarumformung verstehen.

Schreiben wir es nochmal in Worten hin, das heißt Addition zu A in der J-Zeile, und zwar was?